実際にフーリエ変換をしてみよう
単発パルス（方形パルス）のフーリエ変換
前回はフーリエ変換の意味と、複素フーリエ係数を求める式からフーリエ変換の式が得られる事を説明しました。今回は実践編という事でフーリエ変換を試してみたいと思います。
図1に示すような、時刻t=0に中心がある単発パルス（方形パルス）のフーリエ変換を行ってみましょう。パルスの横幅をW、パルスの高さ（振幅）をHと定義しています。
図1：単発パルス（方形パルス）の定義
本連載ではできるだけ面倒な手計算をしないという方針ですが、この例題に関しては手計算を示したいので、ちょっと辛抱してお付き合いください。
このx(t)をフーリエ変換の公式に代入します。パルス波形がある所とない所（マイナス側・プラス側）の3つに積分区間が分割できます。図1に示したx(t)の定義と積分区間の関係性をよくチェックして下さい。
0をいくら積分しても0であることは自明なので、真ん中の第2項だけが有効な計算です。
Hは時間に関係ない定数なので、積分の外にくくり出すことができます。
積分の中に指数関数だけが残りました。この先の計算をするためには、本連載では説明していない「置換積分」というテクニックが必要になるのですが、とりあえず結果だけ示すと
となります。
右側のカッコ内は2つの複素指数の引き算なのですが、ここを見て「複素形式の三角関数に形が似ている」と気づけた人は大変センスの良い人です！少々トリッキーな事をして、分母の-2iだけをカッコの中に移すと次のように整理することができます。マイナスが移動した結果、分子の引き算順序が逆転している事に注意して下さい。
複素形式の三角関数では
と定義されているので、
と解釈すると
という、大変すっきりした形に整います。
さらにここからもう一工夫することができまして、左側の分数に
をかけ算して（これは約分すると1なので、かけ算しても値は変化しません）分母を右のsin関数へうつします。
右側の分数は、分子にsin関数、分母に（分子の）sin関数の中身が置かれています。これにはsinc関数（シンクまたはジンク関数と読む）という特別な名前がついており、
と、大変きれいにまとまります。
Wolfram AlphaおよびMaximaで計算してみましょう。パルスの大きさHとパルスの幅Wを文字のまま計算したものと、具体例としてH=5,W=0.5を代入したものを計算してみます。
まずはWolfram Alphaで文字のまま計算させてみます。
図2：単発パルスのフーリエ変換（Wolfram Alpha）
Sinc関数まではまとまりませんでしたが、正しく計算できています。続いて値を代入した状態で計算させてみます。
図3：単発パルスのフーリエ変換：具体例（Wolfram Alpha）
プロット結果を見ると、中心から離れるに従って徐々にsin関数の振幅が小さくなっていることが読み取れます。これがsinc関数の形状です。
続いてMaximaを使って文字のまま計算させてみましょう。
図4：単発パルスのフーリエ変換（Maxima）
一見今までと異なる計算結果が出ているように見えますが、よく見るとこの式は以下のように整理できます。つまり複素形式のsin関数で表現されているだけで、等価な値です。
続いて値を代入した状態で計算とプロットをさせてみます。
図5：単発パルスのフーリエ変換：具体例（Maxima）
図6：単発パルスのフーリエ変換：具体例プロット結果（Maxima）
複素形式のsin関数になっていますが、Wolfram Alphaと同じ波形がプロットされました。Maximaではプロット範囲を自由に変えられるので、もっと広い範囲（-12≦f≦12）をプロットしてみましょう。
図7：単発パルスのフーリエ変換：具体例（２）（Maxima）
図8：単発パルスのフーリエ変換：具体例（２）プロット結果（Maxima）
単発パルス（方形パルス）のスペクトル
続いて、今計算した単発パルス（方形パルス）のスペクトルを求めてみましょう。
まずWolfram Alphaで求めてみます。振幅スペクトルはフーリエ変換結果（スペクトル関数）の絶対値（abs）を求める事で得られます。絶対値なので、振幅が負だった部分が正方向に折り返されます。
図9：振幅スペクトル（Wolfram Alpha）
位相スペクトルはAbs（絶対値）関数を、位相を求めるArg関数に置き換えれば求められます（ただし残念ながら無料版のWolfram Alphaでは上手くプロットされませんでした）
図10：位相スペクトル（Wolfram Alpha）
パワースペクトルは振幅スペクトルを2乗して求められます。
図11：パワースペクトル（Wolfram Alpha）
同じことをMaximaでも行ってみましょう。振幅スペクトルはWolfram Alphaと同様にabs関数で求められます。
図12：振幅スペクトル（Maxima）
図13：振幅スペクトルプロット（Maxima）
位相スペクトルはcarg関数で求めます（Wolfram Alphaと関数名が異なるので注意して下さい）
図14：位相スペクトル（Maxima）
図15：位相スペクトルプロット（Maxima）
パワースペクトルは振幅スペクトルを2乗して求められます。
図16：パワースペクトル（Maxima）
図17：パワースペクトルプロット（Maxima）
今回は計算が多くて大変だったかもしれません。お疲れ様でした。
次回は「フーリエ変換」を「離散フーリエ変換」に進化させる過程をお話しします。
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