【フーリエ級数編６：フーリエ級数実践編】イメージでしっかりつかむ信号処理〜基礎から学ぶFFT〜

本当にフーリエ級数で波形を再現できるのだろうか
矩形波（方形波）の再現実験
ノコギリ波（鋸歯状波）の再現実験
三角波の再現実験

本当にフーリエ級数で波形を再現できるのだろうか

ここまでフーリエ級数展開について説明をしてきましたが、本当にsinとcosの重ね合わせで波形を再現できるのだろうかと思っている方もいるかと思います。

そこで、代表的な3つの周期波形として「矩形波（方形波）」「ノコギリ波（鋸歯状波）」「三角波」をとりあげ、実際に波形を再現できることを確認してみましょう。

矩形波（方形波）の再現実験

図1：矩形波（方形波）の例

波形の周期は１であり、最初の1周期を表す式は以下の通りです。

矩形波（方形波）のフーリエ係数を求める

A0を求める

A0を求める公式にx(t)と周期Ｔ=1を代入して計算します。この時、tの範囲を2つにわけて積分を作ることがポイントです。

Wolfram AlphaまたはMaximaで計算します。

図2：Wolfram Alphaで矩形波（方形波）のA0を求める

図3：Maximaで矩形波（方形波）のA0を求める

従って、

であることがわかります。

Akを求める

Akを求める公式にx(t)と周期Ｔ=1を代入して計算します。この時、tの範囲を2つにわけて積分を作ることがポイントです。

Wolfram AlphaまたはMaximaで計算します。なお、Wolfram Alphaで計算する時、積分範囲の0.5は分数表記（1/2）しないときれいな結果が出ませんでした。

図4：Wolfram Alphaで矩形波（方形波）のAkを求める

図5：Maximaで矩形波（方形波）のAkを求める

Wolfram Alphaの出力とMaximaの出力は見た目がちょっと違いますが、どちらも同じ（等価な）計算結果を出しています。ただし、どちらの計算も「kが整数である」という事が考慮されていない事に注意が必要です。得られた計算結果

にはsin関数が2つ含まれています。kは整数（0,1,2…）なので、角度πkは0,π,2π,3π…とπ（180度）刻みで、角度2πkは0,2π,4π,6π…と2π（360度）刻みで変化することになります。しかし、sin(πk)=sin(0),sin(π),sin(2π)…は全て0になるので、結局

であることがわかります。

Bkを求める

Bkを求める公式にx(t)と周期Ｔ=1を代入して計算します。この時、tの範囲を2つにわけて積分を作ることがポイントです。

Wolfram AlphaまたはMaximaで計算します。なお、Wolfram Alphaで計算する時、積分範囲の0.5は分数表記（1/2）しないときれいな結果が出ませんでした。

図6：Wolfram Alphaで矩形波（方形波）のBkを求める

図7：Maximaで矩形波（方形波）のBkを求める

Wolfram Alphaの出力とMaximaの出力は見た目がちょっと違いますが、どちらも同じ（等価な）計算結果を出しています。ただし、どちらの計算も「kが整数である」という事が考慮されていない事に注意が必要です。得られた計算結果

にはcos関数が2つ含まれています。kは整数（0,1,2…）なので、角度πkは0,π,2π,3π…とπ（180度）刻みで、角度2πkは0,2π,4π,6π…と2π（360度）刻みで変化することになります。cos(2πk )=cos(0),cos(2π),cos(4π) …は全て1ですが、cos(πk)はkが奇数の時-1、kが偶数の時に1となります。つまり

というように、kが奇数か偶数かで異なる値が得られます。

矩形波（方形波）のフーリエ係数

以上の計算を総合すると、矩形波（方形波）のフーリエ係数は以下のようになります。

表1：矩形波（方形波）のフーリエ係数一覧

図8：矩形波（方形波）のフーリエ係数グラフ

矩形波（方形波）をフーリエ級数で再現する

求めたフーリエ係数で、矩形波（方形波）が再現できるのか、確認してみましょう。

フーリエ級数の式

に、フーリエ係数及び周期T=1を代入します。無限の足し算を実際に行うことはできないので、総和の上限はひとまず10とおきます。

今回の場合A0とAkがゼロであるので

を計算し、グラフにしてみましょう。

Wolfram Alphaの場合は、上式をそのまま記入すると、グラフを描いてくれます。

図9：Wolfram Alphaで矩形波（方形波）を再現

総和の上限が小さいのでかなり波打ってはいますが、矩形波（方形波）に近い形が得られていることがわかります。総和の上限をさらに大きくすればもっと近い形になるのですが、無料版のWolfram Alphaでは計算時間が長くなると強制的に処理を止められてしまうため、実験できません。

Maximaの場合は、まず関数B(k)とx(t)を定義した後、x(t)のグラフを描きます。

図10：Maximaで矩形波（方形波）を再現

次のようなグラフが得られます。

図11：Maximaで再現した矩形波（方形波）

Maximaであれば、総和の上限をさらに大きくすることが可能です。例えば総和の上限を500にするには、次のように入力します。

図12：Maximaでより精密な矩形波（方形波）を再現

ぐっと矩形波（方形波）に近づきました。

図13：Maximaで再現したより精密な矩形波（方形波）

ちょっと余談：ギブズの現象

矩形波を再現したフーリエ級数展開で、総和の数を500まで増やすと、出力はぐっと矩形波に近づきました。しかしよく見ると、波が跳躍する「カド」の部分にするどい「ヒゲ」が見えていることに気づきます。この「ヒゲ」を拡大してみると、「カド」の部分だけ波が振動的に増大していることがわかります。

図14：ギブズの現象

この現象には「ギブズの現象」という名前がついています。矩形波の「カド」のように急激に変化する部分は、sin,cosのように滑らかな関数で再現することがとても難しい（数学的に表現するならば、「フーリエ級数の収束が非常に緩慢である」）ため、なかなか再現しきれないのです。とはいえ理論的には、無限に波を重ね合わせていくと究極的には再現できることになります。

ノコギリ波（鋸歯状波）の再現実験

図15：ノコギリ波（鋸歯状波）の例

波形の周期は１であり、最初の1周期を表す式は以下の通りです。