【フーリエ変換から離散フーリエ変換へ：フーリエ変換編3】イメージでしっかりつかむ信号処理〜基礎から学ぶFFT〜

デジタル時代にマッチしたフーリエ変換とは
離散信号における「時間」と「周波数」の考え方
本連載における離散信号の表記方法

デジタル時代にマッチしたフーリエ変換とは

コンピュータ・インターネット・携帯電話・スマートフォンは日常生活から切っても切り離せない存在となりました。これらの中に入っている情報は全てデジタル信号、別の言い方をすれば離散信号です。

これまで説明してきた「フーリエ級数展開」「フーリエ変換」で確立してきた周波数分析の技術を、コンピュータでも利用したいと考えるのは自然な発想でしょう。しかし「フーリエ級数展開」「フーリエ変換」は連続信号を対象としているので、そのままではコンピュータで使うことができません。コンピュータで周波数分析を行うためには、離散信号に対応したフーリエ変換を考える必要があります。

図1：フーリエ級数（の仲間）の入出力関係対応表

前回までの記事で説明した通り、「フーリエ級数展開」は周期的な連続信号と離散スペクトルを結び付けるものでした。（図1①）「フーリエ変換」では、単発波形（非周期的信号）を扱えるように改良を行い、その結果出力は離散スペクトルから連続スペクトルに変化しました（図1②）。

では、入力信号を離散化するとどうなるでしょうか（ここでいう離散化とは時間の離散化、すなわちサンプリングを行うことです）。フーリエ変換を離散信号に対応させたものを「離散時間フーリエ変換（Discrete Time Fourier Transform : DTFT）」といいます（図1③）。ところが離散時間フーリエ変換は、出力（スペクトル関数）が連続信号になります。入力信号が離散化されても、出力信号が連続信号になってしまうため、コンピュータで処理を行うことができず、実用的にはあまり使用されません。

入力も出力も共に離散信号となるように工夫したものは「離散フーリエ変換（Discrete Fourier Transform : DFT」といいます（図1④）。図１下部の矢印が表すように、実は入力の「連続／離散」「周期的／非周期的」と出力の「周期的／非周期的」「連続／離散」は対応しています。そのため、入力と出力を共に離散信号にするためには、その代償として「出力が周期的になる」「入力を周期的にする」という2つの条件を受け入れる必要があります。

非周期信号を扱うためにフーリエ変換が産まれたのに、また周期信号の縛りが復活してしまう事になりますが、これは致し方ないのでいったん諦める必要があります。入力信号は「永遠に繰り返される」という前提で計算し、出力信号は周期的（になってしまう）ので、そこから物理的に意味のある所だけ取り出して使うようにします。現段階では意味が解らないと思いますが、また後で説明します。正しく使う分には問題になりませんので、気にせず先に進みましょう。